[cruijff91]

Sei sicuro che K sia un corpo invece che un campo? Perché gli spazi vettoriali formati dalle matrici m\times n e m \times r che usi per definizione di spazio vett. devono essere costruiti su un campo K. Infatti poi usi M(\mathbb{R}) che è un campo.

La notazione standard per la matrice inversa è A^{-1} e per l'identità è I_{n\times n} (con la E_n si chiamano le matrici elementari), comunque per ste cose fa come vuoi dato che si tratta solo di dare un nome alle cose.

Chiami il vettore f come elemento di uno spazio di matrici, ma non ha molto senso. Il vettore che chiami è un elemento di uno spazio vettoriale, diciamo F-R, ie costruito sui Reali, la cui dimensione è 2.
E' più giusto dire: applicare una matrice al vettore, che consiste nell'operazione riga*colonna.
Questo perché una matrice sarebbe un'applicazione (funzione), scritta secondo una base, che nel tuo caso va dallo spazio F in F (ovvero è un endomorfismo).

Per il resto il calcolo è sagace: trova la matrice che ti fa fare la ricorsione e poi usa il vecchio trucco della diagonalizzazione per fare le potenze più agilmente. Non so se ti sei reso conto di quanto hai fatto con la matrice S. Mi permetto: la diagonalizzazione consiste nel cambiare base rispetto alla quale l'applicazione è scritta. La matrice A è scritta in quel modo su una base, detta canonica. La matrice S è l'operazione che trasforma un vettore scritto su una base di partenza in un vettore scritto su una base di arrivo (attenzione: basi diverse ma dello stesso spazio vettoriale). A questo punto la matrice A e la diagonale D si dicono simili ovvero esiste S invertibile tc A = S D S^{-1} come hai ben scritto. Geometricamente significa che lo spazio vettoriale su cui agisce la matrice ovvero F è stato diviso in sottospazi per cui l'applicazione agisce su questi "a scatola chiusa" ovvero quest'applicazione li manda in sè stessi, dove il valore che moltiplica è l'autovalore e l'autovettore è la base di questo sottospazio, ovvero A.f=\lambda f
Fico?!

Potrebbero chiederti: chi ti garantisce che A^{n} è diagonalizzabile? A lo è perché è simmetrica reale (esiste un teorema apposta). Ma la potenza n-sima?